Neden Matematik Öğreniyoruz ?

Matematik uygarlığın aracıdır. Matematik çok yönlü bir bilimdir. Yayılma alanının ve derinliğinin sınırı yoktur. Bilim ve teknolojide olduğu kadar günlük yaşamda da vazgeçilmezdir. Çağlardan çağlara taşınan, ulusal sınır tanımayan, etkili, sağlam ve evrensel bir kültürdür. İnsanoğlu varoluşundan beri korkuyla, şüpheyle ve merakla içinde yaşadığı evreni tanımaya, doğa olaylarını açıklamaya ve doğaya egemen olmaya uğraşmaktadır. Gizlerini bilmediği için doğa olaylarını, yüzbinlerce yıl boyunca, korkuyla gözleyen insanoğlu, doğaya egemen olmak zorunda olduğunu kavradıktan sonra onunla amansız bir mücadeleye girmiştir. Bu mücadelede onun en hünerli aracı matematiktir.
Tarih öncesi zamanlardan beri insanoğluna doğa üstü görünen pek çok olayın bilimsel açıklaması matematik ile yapılabilmiştir, evrenin mükemmel düzeni matematik ile ortaya konulmuştur. Örneğin, gök cisimlerinin hareketi, insanoğlunun daima merak ettiği hatta korktuğu olgulardandı. Şimdi Ay'ın ve Güneş'in tutulmasından korkmuyoruz; hatta tutulmaların ne zaman ve nerede olacağını çok önceden hesaplayabiliyoruz. Gök gürlemesinden, yağmurdan, selden korkmuyor; barajlar kuruyor, evlere, fabrikalara enerji akıtıyoruz. Dünyada ve hatta gezegenler arasında etkin bir haberleşme ağı yaratıyor, üstün bir iletişim ortamı kuruyoruz. Temeli matematiğe dayanan Elektrik ve Magnetizma Kuramı olmasa günümüzün enerji ve iletişim sistemleri çalışmazdı; yani radyolarımız çalışmaz, televizyonlarımız göstermez; barajlarımız elektrik üretmezdi. Işığın nasıl yayıldığını kolayca açıklıyoruz. Işığı yalnız aydınlatmada kullanmıyoruz; örneğin, x ışınlarını, lazer ışınlarını insanlığın sağlığı, refahı ve mutluluğu için kullanabiliyoruz. Süper bilgisayarlar üretiyor ve binlerce kişinin binlerce yılda bitiremiyeceği işlemleri saniyelerde yapıyoruz. Romantizmin başlıca kaynağı olan Ay'a ayak basıyoruz... Bütün bunları matematikle yapıyoruz. Matematiğin uygulanmadığı hiçbir teknik alan yoktur... Matematik yalnızca çağdaş bilim ve tekniğin temel aracı değildir... Tıp, sosyal, siyasal, ekonomi, işletme, yönetim v.b. bilimler de matematiksel yöntemlere dayanmak zorundadır. Kısaca matematik, insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir. Evrenselliği onun gücüdür. Çağları aşarak bize ulaşmıştır, çağları aşarak yeni kuşaklara ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek; her zaman taze ve doğru kalacaktır. Bu nedenle, matematik öğretimi bütün dünya ülkelerinde özel bir önem ve önceliğe sahiptir.

Paradokslar

Paradokslar
Paradokslar, bilinen Batı felsefesinin başlangıcına dayanır.Batı felsefesi, yani Eski Yunan felsefesinin ilk düşünürleri paradokslarla ilgilenmişlerdir.Birçok paradoks, bu düşünürlerin isimleriyle anılır.
Paradoks sözcüğü Yunanca“Para : İleri”ve“Doxa : düşünce, inanış”sözcüklerinin birleşmesi sonucu oluşmuştur.Bununla birlikte paradoks sözcüğünün sözlük anlamı ise şöyledir:
“Görünüşte yanıltıcı olan insan, şey ya da durumdur.”
Yukarıda’da belirtildiği gibi paradokslar bilinen batı felsefesinin başlangıcına dayanır.Tarih içinde paradoks olduğu iddia edilen ilk örnek Yunan filozof Epimenides’in“Girit’li paradoksu” dur.Aslında Epimenides’in paradoks olduğunu iddia ettiği önerme bir paradoks değildir.Epimenides “Bütün Giritliler yalancıdır.”demişti.Bu önermedeki mantık hatasını ilgili bölümde açıklayacağız.Epimenides paradoksu olarak bilinen yukarıdaki önerme paradoks olmasa da Epimenides mantığını geliştiren günümüz filozofları “yalan paradoksları” olarak anılan gerçek paradokslar bulmayı başarmışlardır.
Paradokslar çok uzun yıllardan bu yana olmalarına rağmen matematik dünyası paradoksları 20. Yy da keşfetmiş denilebilir.Çoğu milat öncesine dayanan paradokslar ancak 20 yüzyılın sonlarından itibaren matematik dünyası tarafından tanınmış ve tartışılmaya başlanmıştır.Arada geçen yıllar boyunca paradokslar felsefe dünyasının sadece bir kısmı tarafından tartışılmıştır.
Paradokslar karakterlerindeki farklılıklara göre şu şekilde sınıflandırılabilirler:
•Zeno paradoksları
•Russell paradoksları ( Küme teorileriyle ilgili )
•Mantık paradoksları
•Epimenides paradoksları( Yalancı paradoksları )
•Sonsuzluk paradoksları
•Zaman yolculuğu paradoksları

1) Zeno Paradoksları
Zeno, matematik tarihindeki ilk büyük şüphecidir. Paradoksları matematikçileri yıllarca uğraştırmış ve paradokslarının yol açtığı araştırmalar sonucu matematiğin gelişimine büyük katkı yapmıştır.
Zeno’nun doğum ve ölüm tarihleri tam olarak bilinmemektedir. Ancak tahminlere göre Zeno, M.Ö. 495 yılında İtalya’daki bir Yunan kolonisinde doğmuştur. Doğduğu koloninin ismi Elea olduğundan Elea’lı Zeno olarak bilinir.
Parmenides adında bir filozofun öğrencisi olan Zeno, hocasına M.Ö 449 yılında Atina’ya yapılan bir yolculukta eşlik etmiştir. Bu yolculuğun, Zeno’nun geleceği açısından çok önemli olduğu düşünülmektedir. Elea’ya geri döndüğünde politikaya girmiştir. Bu dönemde şehrin gaddar yöneticisi olan Nearchus’a düzenlenen bir süikastta yer aldığı iddiasıyla tutuklanmıştır. Bu suikasttaki rolü yüzünden öldürülene kadar işkenceye maruz kaldığı ve bu şekilde öldüğü söylenir.
Zeno bir filozof ve mantıkçıydı. Matematikçi değildi. Bilinen tek yapıtı Epicheiremata’dır. Bu eserinde özellikle, hocasının fikirleri ve kendi fikirleri üzerine yazılar bulunmaktadır.
Zeno’nun asıl ünü paradokslarından gelmektedir. Zeno’nun 40’a yakın paradoksu olduğu biliniyor fakat günümüze bunlardan yalnızca 8 tanesi kaldı. Zaten Zeno’nun tek kitabının da tamamı şu anda bulunmamakta. Kitabının bir bölümü günümüze kadar korunabilmiş.
Zeno aslında hocası Parmenides’le aynı görüşlere sahip değildi. Parmenides’in savunduğu felsefe, gerçeğin sadece bir tane ve değişmez olduğunu söylüyordu. Ona gore, hareket, değişim, zaman ve çokluk kavramları küçük birer hayaldiler. Zeno’nun paradoksları ise bu görüşün tam tersini kabul ederek yazılmışlardı. Zeno’ya gore gerçeklik tek değildi, birçok gerçek olabilirdi, gerçek saçmaydı ve tezatlarla doluydu.
Dichotomy paradoksu : Hareket yoktur. Çünkü bir hareketin olabilmesi için belirli bir zaman diliminde belirli bir mesafenin yapılmış olması gerekir. Bunun için de istenilen mesafenin önce yarısı, sonar kalan mesafenin yarısı, daha sonra kalanın yarısı vb…gidilmesi gerekir. Ancak herzaman gidilmemiş bir “kalan yolun yarısı” olacaktır. Dolayısıyla hareket hiç başlamamıştır.
Tavşan-Kaplumbağa paradoksu : Hareketli bir tavşan hiçbir zaman kendisinden ilerdeki hareketli bir kaplumbağayı yakalayamaz. Çünkü kağlumbağayı yakalması için öncelikle, seçilen bir anda kaplumbağanın bulunduğu noktaya gelmesi gerekir. Tavşan o noktaya gelene kadar kaplumbağa biraz daha ilerlemiş olur. Daha sonra ilerideki kaplumbağanın o anda bulunduğu noktaya gidene kadar kaplumbağa biraz daha ilerler. Sonuçta kaplumbağa hareketli olduğundan, tavşan, kaplumbağayı asla yakalayamaz.
Ok paradoksu : Zaman “an” lardan oluşmuştur. “An”zamanın en küçük parçasıdır ve bölünemez. Bir ok hareketli veya hareketsiz olsun, aslında ok hiçbir zaman hareket edemez. Çünkü hareketin gerçekleşmesi için okun bir anın başlangıcında bir noktada, anın sonunda da başka bir noktada olması gerekir. Ancak bunun olması için “an” ın bölünebilir olması gerekir ki bu da tanıma gore mümkün değildir. Dolayısıyla ok aslında hareket etmemiştir.
2) Russell Paradoksları
Küme paradokslarının yaratıcısı ünlü İngiliz düşünür Bertrand Russell’dır. Russell paradoksu, mantık ve küme teorisi temeline dayanan paradokslar içinde en ünlüsüdür. Küme teorisi ile ilgili paradoksların yaratıcısı olması sebebiyle bu tarz paradokslara Russell paradoksları denir.
Russell’ın küme paradoksu: Russell’ın küme paradoksu, kendisini eleman olarak içeren ve içermeyen kümelerle ilgilidir. Bunun için öncelikle Greg Cantor’un küme aksiyomunu öğrenelim:
“ Serbest değişken olarak x içeren bir P(x) fonksiyonu, bu fonksiyonu sağlayan elemanların oluşturduğu bir küme tanımlar.”

Russell’ın küme paradoksu yukarıdaki aksiyomla ters düşmektedir.
Russell’ın küme paradoksu şöyledir:
"Çoğu küme, kendisinin elemanı değildir. Yani örneğin tüm kalemlerin kümesi bir kalem değildir. Dolayısıyla kalemler kümesinin bir elemanı olamaz. Bu tarz kümeler için “KEO” kısaltmasını kullanalım.
Bazı kümeler kendisinin elemanıdırlar. Örneğin yukarıdaki kümenin tersini düşünürsek. Kalem olmayan herşeyin kümesi yukarıdaki kümenin tersidir. Kalem olmayan herşeyin kümesi, aynı zamanda kalem olmayan birşey olduğuna göre kalem olmayan herşey kümesinin bir elemanıdır. Yani kendisini elaman olarak içerir. Bu tarz kümeler için “KE” kısaltmasını kullanalım.
Cantor’un küme teorisine ve kabul gören küme teorilerine göre yukarıdaki ik kümenin toplamı herşeyi verir. Yani bir küme ve o kümenin tersinin toplamı, evrensel kümedir. Bu kabulden hareketle tüm kümelerin ya “KEO” ya da “KE” kümelerinin bir alt kümesi olması gerekir. Yani daha basit anlatımla herhangi bir küme, ya kendisini eleman olarak içerir ya da içermez. Bu iki olasılıktan başka bir seçenek yoktur. Ancak Russell, bu iki kümenin de elemanı olmayan bir küme göstermiştir.
Şimdi, “TKEO” adında bir küme tanımlayalım. TKEO kümesi, kendisini elaman olarak içermeyen tüm kümelerin kümesi olsun. Bu küme kendisini eleman olarak içermeyen kümelerin kümesi olduğu için kendisini eleman olarak içeremez. Dolayısıyla bu küme “KEO” grubuna aittir. Bu kümenin, kendisini eleman olarak içermeyen kümelerin kümei olduğunu söylemiştik. O halde, bu kümenin kendisi de kendisini eleman olarak içermediğine göre( bu sonuca bu paragrafın 3. cümlesinde varmıştık) kendisini barındırması gerekir. Yani kendisini eleman olarak içermesi gerekir.
Görüldüğü gibi“TKEO” kümesi hem kendisini elaman olarak içerir hem de içermez. Oysa ki böyle bir küme olamayacağı, yani bir kümenin bu iki kategoriden yalnızca birine ait olabileceğini biliyoruz. Bu durumda ortaya bir paradoks çıkmış oluyor.”
3) Epiminedes Paradoksları
Yunan düşünür Epimenides yarattığını sandığı paradoks sebebiyle Epimenides paradoksları adı verilen birçok paradoksun bulunmasında birinci sebeptir.Kaldı ki uzun yıllar paradoks olduğu düşünülen “Bütün Giritliler yalancıdır” cümlesi aslında paradoks değildir.
“Bütün Giritliler yalancıdır” cümlesi neden yıllar boyu paradoks olarak algılandı?
Olasılıkları düşünelim:
Birinci olasılığa göre Epimenides doğru söylüyor olsun.Bu durumda bütün Giritliler yalancı olamaz çünkü Epimenides yalancı değildir.( Doğru söylediği için)
İkinci olasılığa göre Epimenides yalan söylüyor olsun.Bu durumda bütün Giritliler yalancı değildir.Bunu anlamış oluyoruz.Yani bazı Giritliler yalancı bazıları ise yalancı olmayabilir.Eğer Epimenides yalan söylüyorsa kendisi yalancılar grubuna girer geri kalanların bazıları da yalancı olmayanlar grubuna girer.Bu durumda bütün Giritliler yalancı değildir.Ama bazıları yalancı olabilir.( Epimenides gibi )
Yukarıdaki iki olasılık incelendiğinde ikinci olasılığın bu cümleyi paradoks olmaktan çıkardığını görüyoruz.Bu cümlenin paradoks olarak algılanmasının sebebi ise ikinci olasılığa göre bütün Giritliler’in yalancı olmamasının tüm Giritliler’in doğru sözlü olması olarak algılanmış olmasıdır ki bu yaklaşım yanlıştır.Ancak uzun yıllar sonra bu yaklaşımın yanlış olduğu anlaşılmış ve Epimenides’in önermesinin paradoks olmadığı kesinleşmiştir.
Günümüzde Epimenides’in önermesinden ilham alan düşünür ve matematikçiler Epimenides’inkine benzer gerçek paradokslar bulmuşlardır.Bu paradokslar Epimenides paradoksları olarak bilinir.
“ Bu cümle yanlıştır.”
Eğer yukarıdaki cümle yanlışsa cümlenin doğru olması gerekirdi, eğer cümle doğru ise cümlenin yanlış olması gerekirdi. Dolayısıyla yukarıdaki paradoks gerçek bir paradokstur

Bir başka paradoks da şölyedir:
Elinizde bir kart olduğunu düşünün. Kartın bir yüzünde şu yazsın:
“Bu kartın diğer tarafında yazan cümle doğrudur.”
Kartın diğer yüzünde ise şu yazsın:
“Bu kartın diğer tarafında yazan cümle yanlıştır.”

Okuduğunuz ince bir Türkçe kitap düşünün ve aşağıdaki yargılara bir göz atın;
1.BBu kitap 597 sayfadır.
2.BBu kitabın yazarı Conficius’dur.
3.BBurada belirtilen 1, 2 ve 3 önermeleri yanlıştır.

4) Sonsuzluk Paradoksları
Hilbert’in otel paradoksu : Sonlu sayıda odası olan ve tüm odaları dolu olan bir otel düşünün. Bu durumda bir müşteri otel görevlisine oda istediğini söylediğinde görevli yeri olmadığını söyler. Şimdi de sonsuz sayıda odası olan bir otel düşünün. Tüm odalar dolu olsun. Bu otele yeni bir müşteri gelip oda istediğinde acaba görevli aynı şekilde tüm odalarının dolu olduğunu mu söyleyecektir? Hayır. Görevli müşteriye 1 nolu odaya geçmesini söyleyebilir. Görevli 1 numaralı odadaki müşteriyi 2 numaralı odaya, 2 numaralı odadaki müşteriyi 3 numaralı odaya yerleştirir ve bu böylece sürüp gider. Sonuçta 1 numaralı oda boş kalmış olur.
"Sonsuz sayıda odası olan ve tüm odaları dolu olan bir otel düşünün. Yukarıdaki örnekten farklı olarak bu durumda bir müşteri değil, sonsuz sayıda müşteri gelsin. Görevli, sonsuz sayıdaki müşteriye de yer bulabilir.N1 odasındaki müşteriyi N2 odasına, N2 odasındakini N4 odasına, N3 odasındakini N6 odasına gönderir. Bu işlemi tüm odalar için yapar. Sonuçta tüm tek sayıdaki odalar boş kalacağı içinsonsuz sayıdaki müşteri odalara yerleşebilir."

MATEMATİĞİN GÜZELLİĞİ

Matematik eğlencelidir

Evet, matematik çok eğlencelidir, eğlenmesini bilene. Aşağıda bazı matematiksel güzellikler bulacaksınız.


Önce bazı tanımlar ve bilgiler



Bazı sayısal anekdotlar


5 adet 2 kullanarak 0-9 arası sayıları elde etmek:


2 + 2 - 2 - 2/2 = 1
2 + 2 + 2 - 2 - 2 = 2
2 + 2 - 2 + 2/2 = 3
2 . 2 . 2 - 2 - 2 = 4
2 + 2 + 2 - 2/2 = 5
2 + 2 + 2 + 2 - 2 = 6
22/2 - 2 - 2 = 7
2 . 2 . 2 + 2 - 2 =8
2 . 2 . 2 + 2/2 = 9
2 - 2/2 - 2/2 = 0






Şimdi de şuna bakın:


1 . 1 = 1
11 . 11 = 121
111 . 111 = 12321
1111 . 1111 = 1234321
11111 . 11111 = 123454321
111111 . 111111 = 12345654321
1111111 . 1111111 = 1234567654321
11111111 . 11111111 = 123456787654321
111111111 . 111111111 = 12345678987654321






153'ün hikayesi nedir?

Bu sayı rakamlarının küplerinin toplamına eşittir.


15^3 = 1^3 + 5^3 + 3^3


Aynı özelliğe sahip diğer sayılar şunlar:


370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3




1634'ün hikayesi nedir?

Bu sayı rakamlarının 4. kuvvetlerinin toplamına eşittir.


1634 = 1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4


Aynı özelliğe sahip diğer sayılar şunlar:


8208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4
9474 = 9^4 + 4^4 + 7^4 + 4^4

4150 ve 4151'in de benzer hikayesi var:


4150 = 4^5 + 1^5 + 5^5 + 0^5
4151 = 4^5 + 1^5 + 5^5 + 1^5




2025, 3025 ve 9801 sayılarının başları kel mi? Bu sayıları iki kısma ayırdıktan sonra bu kısımları toplayarak karelerini alırsak aynı sayıları buluruz:


20 + 25 = 45

45^2 = 2025


30 + 25 = 55

55^2 = 3025


98 + 01 = 99

99^2 = 9801


§ Doğal sayılarda a2 + b2 = c2 + d2 eşitliğine bir örnek:
102 + 52 = 112 + 22
Başka var mı?
§ Hangi sayının rakamları kendi kuvvetlerine gönderilip toplanırsa ilk sayıyı verir?
0 ve 1 dışında böyle iki sayı var: 3435 ve 438,579,088 sayıları.
3435 = 33 + 44 + 33 + 55
438,579,088 = 44 + 33 + 88 + 55 + 77 + 99 + 00 + 88 + 88
438,579,088'den daha büyük başka bir sayının böyle bir özelliğe sahip olamayacağını kanıtlayabilir misiniz?
§ 4 de güzel bir sayıdır:
4 = 2 + 2 = 2 . 2 = 22
§ 0 ve 2 den başka çarpımları toplamlarına eşit tamsayılar yok. Tamsayı şartı kaldırılırsa, böyle sayıları veren bir kural bulunabilir mi?


Evet.

n ve n/(n-1)

sayılarının toplam ve çarpımları aynıdır.



Örneğin, n = 5 ise

5/4

olur.




5+5/4




§ Üç sayıyla böyle bir işlem yapılabilir mi? Evet.


1 + 2 + 3 = 1 . 2 . 3 = 6


Peki, herhangi üç sayının aynı özelliği taşıması için bir kural bulunabilir mi?




§ 8 adet 8 kullanarak 1000 elde edebilir misiniz?


888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000


§ 8 ile ilgili daha ne var?


88 = 9 . 9 + 7 888 = 98 . 9 + 6
8888 = 987 . 9 + 5
88888 = 9876 . 9 + 4
888888 = 98765 . 9 + 3
8888888 = 987654 . 9 + 2
88888888 = 9876543 . 9 + 1




Bitmedi:


12345679 . 8 = 98765432




Şimdi bir oyun oynayalım:


1. Bir sayı yazın.
2. Bu sayıyı tersinden yazın.
3. Küçüğü büyükten çıkarın.
4. Farkın rakamlarını toplayın.
5. Bu toplamın basamak sayısı 1 den fazlaysa, rakamları bir daha toplayın.
6. Böyle devam ederseniz daima 9 bulursunuz.


Uygulama:
7. 2578
8. 8752
9. 8752 - 2578 = 6174
10. 6 + 1 + 7 + 4 = 18
11. 1 + 8 = 9


§ 8 dışında 1-9 rakamlarını sırayla yazarak 9'un katlarıyla çarpmayı denediniz mi?


12345679 . 9 = 111111111
12345679 . 18 = 222222222
12345679 . 27 = 333333333
12345679 . 36 = 444444444
12345679 . 45 = 555555555
12345679 . 54 = 666666666
12345679 . 63 = 777777777
12345679 . 72 = 888888888
12345679 . 81 = 999999999


§ Tek sayıların toplamlarının neyi verdiğini hiç düşündünüz mü?


1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62
...




§ Peki ya sayıların küplerinin toplamlarının?


13 = 1 = 12
13 + 23 = 9 = 32 = (1 + 2)2
13 + 23 + 33 = 36 = 62 = (1 + 2 + 3)2
13 + 23 + 33 + 43 = 100 = 102 = (1 + 2 + 3 + 4)2
...


§ 142857 apayrı bir güzelliktir. Buna dairesel sayı diyelim. Bir daire çevresine bu sayının rakamlarını yazar ve sayıyı 1-6 arası herhangi bir sayıyla çarparsanız daire çevresinde bir rakamdan başlayarak aynı sırayla başka bir sayı elde edersiniz.


142857 . 1 = 142857
142857 . 2 = 285714
142857 . 3 = 428571
142857 . 4 = 571428
142857 . 5 = 714285
142857 . 6 = 857142
7'yle çarpın. Sürpriz!
142857 . 7 = 999999


Burada bittiğini sanıyorsanız, bir de 7'den büyük sayılarla çarpmayı deneyin:


142857 . 8 = 1142856


Eee? Ne var1142856'da? Dikkatle bakın. Bu sayıda ilk sayının 7'si yok ama 7'nin bulunması gereken yerde 6, başta da 1 var. Yani, 6+1=7. Gerisi yine ilk sayıdaki sırasıyla aynı rakamlar. Çarpmaya devam ederseniz, ilk sayının diğer rakamlarının da değişik biçimlerde iki parçaya ayrıldığını göreceksiniz.


142857 . 9 = 1285713
142857 . 10 = 1428570
142857 . 11 = 1571427
142857 . 12 = 1714284
...


Bir güzelliği daha var:


142857 . 142857 = 1428572= 20408122449


Bu sayıyı 20408 ve 122449 olmak üzere iki kısma ayırıp bunları toplarsak,


20408 + 122449 = 142857


Bu güzel sayı nereden geliyor dersiniz?


1/7 = 0.142857142857142857...






Başka dairesel sayı var mı? Evet, işte:


526315789473684210


Bu sayıyı 1-200 arasındaki hangi sayıyla çarparsanız çarpın, rakamlarının sırası aynı kalacak şekilde bu sayının başka bir dizilişini bulursunuz.


Hiç aklınıza gelir miydi?


12345679 . 999999999 = 12345678987654321 = 1111111112




Su çarpma işleminde ilginç bir şey var mı?


138 . 42 = 5796


9 rakamın hepsi kullanılmış ve hepsi de farklı. Bunun gibi 9 çarpım daha yazılabilir:


12 . 483 = 5796
18 . 297 = 5346
39 . 186 = 7254
48 . 159 = 7632
27 . 198 = 5346
28 . 157 = 4396
4 . 1738 = 6952
4 . 1963 = 7852


Şu çarpma işleminin bir özelliği var mı?


8712 = 4 . 2178


Evet! Bu işlem "hangi sayı 4 ile çarpıldığında, aynı sayıyı tersten verir?" sorusunun cevabıdır.




0 hariç 1 den 9'a kadar bütün rakamları sırayla yazın (123456789). Uygun yerlere "+" veya "-" işaretleri koyarak 100 elde edin.


Bir cevap şöyle:
12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100


Başka bir cevap daha var:
123 + 4 - 5 + 67 - 89 = 100




Acaba başka var mı? Biraz düşünün bakalım.


"/" işaretine de izin verilir ve rakamları sırayla yazma şartı kaldırılırsa, şöyle bir çözüm bulunabilir:


100


Ya da,
yuz2


Başka bulabilir misiniz?


Belki de bu kadar müsrif olmamak gerek. İnsan 9 rakamla neler yapmaz ki!


bir


Öyle bir sayı yazalım ki, bu sayının soldan ilk rakamı sayıdaki sıfırların sayısını, 2. rakamı sayıdaki 1'lerin sayısını, 3. rakamı sayıdaki 2'lerin sayısını ... versin.


n sayımızın basamak sayısını göstersin.



n = 1: yazılamaz (kanıt)
n = 2: yazılamaz (kanıt)
n = 3: yazılamaz (kanıt)
n = 4: 1210, 2020
n = 5: 21200
n = 6: yazılamaz (kanıt)
n = 7: 3211000
n = 8: 42101000
n = 9: 521001000
n = 10: 6210001000
n > 10: (n-4), 2, 1, (n-7) adet 0, 1, 0, 0, 0

Matematigi nasil ögrenmeliyiz?

Matematik küçük yaslarda verilen iyi bir temel bilgiyle ögrenilir, fakat bu demek degildir ki matematik ileriki yaslarda da ögrenilmesin. Bu süreç ne kadar geciktirilirse ögrenme de o kadar zor olacaktir. Temel problem de buradan kaynaklanmaktadir. Ögrencilerimizin büyük çogunlugu temel bilgileri zamaninda alamadigindan matematik hakkinda önyargiya kapilip, bu dersin zor oldugunu ve ögrenilemeyecegini düsünmektedir. Temeli olmasa dahi matematik belirli bir düzeyde herkes tarafindan ögrenilebilir. Bunun için ilk sart, matematigin ögrenilebilirligini kabul etmek ve o ders hakkindaki önyargilari bir kenara birakmaktir.

Matematigi ögrenmede ögretmenin rolü çok önemlidir. Bu dersi sevdirmek ve ögrenciyi belli bir düzeye getirmek ögretmenin görevidir, fakat unutulmamalidir ki ögrenmede aktif olan, ögrenci olmali ve herseyi ögretmenden beklememelidir. Ögrenci kendisini ne kadar zorlar ve ögretmeni sadece yol gösterici olarak görür ve o yolda kendisinin ilerlemesi gerektigini bilirse sonuca da o kadar çabuk ulasir. Aksi taktirde ögretmenin ön plana çiktigi durumlarda ögretmen olmayinca ögrenme ve ilerleme de olmayacaktir.
Genelde ögrenciler kolayciliga kaçarak her seyin çözümünü ögretmenden beklemekte, ögretmenin anlattiklarini anlamakla sonuca ulasabilecegini zannetmektedirler. Halbuki anlamak ile yapmak çok farkli seylerdir. Bir problemi çözebilmek için önce o konu problem tipleri hakkinda belli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardir. O birikimi olusturmadan çözülen sorular anlasilsa dahi baska problemleri yapmada güçlük çekilecektir. Bu durum kisinin kendisini kandirmasidir, soruyu algiladigini zannetmesidir. Bilgi beyne gitmistir, fakat kalici olmamistir. O yüzden konunun kalici olmasini ve problem tiplerinin beyne yerlesmesini saglamak gerekmektedir. Bunu yapmak için de ögretmenin yaptigi çözümlü örneklerin tekrar tekrar incelenmesi, bikmadan usanmadan sorularin çözümlerine önce bakarak sonra cevabi kapatarak bir kez daha çözülmeleri gerekmektedir. Bu yöntem uygulanirsa artik o konu hakkinda beynimizde belli bir birikim saglanacak, artik baska sorular da yapilabilecektir. Degisik sorular çözerken öncelikle basit sorulardan baslanmali konunun iyice pekismesi saglanmalidir. Bir soru çözülemiyorsa pes edilmemeli, tekrar tekrar çözmeye ugrasilmalidir. Unutulmamalidir ki çözümüne zor ulasilan sorular veya ugrasmaniza ragmen çözülemeyen sorular size çok sey katacaktir. Siz farkinda olmadan konunun genel tekrarini yapmakta degisik durumlari düsünerek bilgilerinizi saglamlastirmaktasinizdir. Son noktada yine çözülemeyen sorular soruyu çözen arkadaslarinizla irtibata geçerek çözümlenmelidir. Hiçbir arkadasiniz çözememis ise artik bu soru için ögretmeninize basvurabilirsiniz. Bu sekildeki bir çaba sizin hazirci olmadiginizi göstererek gayretinizi ortaya koyacak ve kendinize güven duymanizi saglayacaktir.

Ögrencilerin en büyük problemlerinden bir tanesi de unutma olayidir. Temeli saglam olmayan bir ögrenci, bir konuyu ögrense dahi çalismaya ara verir, geri besleme yapmazsa o konuyu çok çabuk unutacaktir. Bu yüzden her konuyu gündeminizden eksik etmeyin ve geri besleme yaparak muhakkak konularla ilgili tekrar örnekleri yapin. ÖSS de matematikten gelen sorular LISE 1 agirlikli olup, temel konulari kapsamaktadir. Bu sinav sisteminde, bilgiden ziyade bilgiyi yorumlama ve temel kavramlar üzerinde durulmaktadir. Bu sebeple konulari belirli düzeyde ögrenir, konularin temel problem tiplerini kavrar ve bu ögrendiklerinizi unutmazsaniz, sinavda basarili olmaniz mümkün degildir. Temeli iyi olan ögrenciler soru hazinelerini artirmak için daha çok pratik yapmalidirlar. Temeli iyi olmayan ögrenciler ise ilk önce çok soru çözmek yerine belirli konularda belirli soru tiplerini ögrenmeli, daha sonra degisik soru çözümlerine baslamalidirlar.

Matematik dersini ne kadar sever ve ne kadar çok ilgilenirseniz basari o kadar çabuk gelir. Unutmayiniz ki matematigin size çok sey katacagini kabul etmeniz, basarili olmanizda ilk adim olacaktir. Düsünen ve arastiran bir insan olmaniz temennisiyle...

Matematik Nasıl çalışılır?

Matematik ve Geometri dersinin sayısal puanının oluşumundaki katkısı % 42, eşit ağırlıkta % 34 ve sözel puanda % 10'dur. Her üç puan türü için de yüzdelik oran açısından son derece yüksek değere sahip bir ders olan matematik ve geometrinin sorularının ciddiyetle çözülmesi öğrenciye sınav kazanma açısından büyük bir avantaj sağlayacaktır.
Dolayısıyla, böylesine önemli bir dersin sorularını çözmeden sınavın kazanılması pek mümkün gözükmemektedir.

soru çözüm aşamaları
* Soru size hiçbir şey ifade etmiyor ise bu soruyu içeren konuyu tekrar, adım adım çalışmanız gerekir.
* Çözemediğiniz sorulardan sonra hemen cevap anahtarına bakmak yerine, soru üzerinde tekrar tekrar düşünüp, yapmak için çok uğraşıp en son çare olarak cevap anahtarına bakmalısınız.
* Sorunun çözümünde yorum hatası yaptıysanız, geri dönüp konuyu tekrar gözden geçirmeli ve hatanızın ne olduğunu öğrenmelisiniz.
* Sorunun çözümünde, çözüm yolunuz doğru olduğu halde işlem hatası yaptığınızdan doğru sonuca ulaşamadıysanız hatanız her ne ise altını çizerek bir yere not etmeli ve bir sonraki sınavda aynı hatayı yapmamaya çalışmalısınız.
* Soruyu doğru çözdüyseniz, sorunun kenarına bir işaret koyunuz. Bu işaretlerin çokluğu size moral verecektir.
* Konuyu çok iyi bilmekle, o konuyla ilgili soruları yapabilmek farklı şeylerdir. Konuyu iyi bildiğiniz halde, o konuyu içeren soruları çözemediyseniz konuyu iyi bilmeniz size tek başına katkı sağlamaz. Ancak bu ikisi bir araya geldiği zaman yani konuyu iyi bilmek ve o konuyla ilgili çok fazla soru çözmek gerçekleştiği zaman sonuç sizin lehinize olacaktır.