matematik paradoksu
Dogru Parçasi Paradoksu ........ 2+2=5 ?............. Cantor Paradoksu.............. Karışım Paradoksu........... Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu........... Karışık Bir Hesap............... Hempel Paradoksu................... Arnauld Paradoksu................ Berber Paradoksu................. Russel Paradoksu
Dogru Parçasi Paradoksu: Önce dogru parçasinin tarifini yapalim: Dogru Parçasi: Baslangici ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan olusan dogru. Pekiyi nokta nedir? Nokta: Kalemin kagida biraktigi en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanin boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks basliyor: Noktanin boyutu olmadigina göre iki noktanin yanyana gelmesi birsey ifade etmez.
100 nokta veya 1 milyar nokta da yanyana geldiginde herhangi bir sekil olusturmaz.( Çünkü sekil olusturmasi için gerekli olan boyut özelligini saglamiyor) Bu suna benzer ki; sifir ile sifirin toplami yine sifirdir. Milyarlarca sifiri toplasak 'yarim' dahi etmez. O halde dogrunun taniminda bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanin yanyana gelmesi birsey ifade etmez! Noktanin çok çok az da olsa boyutu oldugunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanin tarifi hatali olur.
Noktayi boyutlu kabul edelim. Karsimiza bir paradoks daha çikar; dogru parçasinda sonsuz adet nokta olduguna göre dogru parçasinin da uzunlugu sonsuz olmalidir. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir seyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.
2+2=5 ?
X = Y ................................................olsun
X² = X.Y............................................esitligin her iki tarafini 'X' ile çarptik.
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çikardik.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafi çarpanlara ayirdik, sag tarafi 'Y' parantezine aldik.
( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadelesti.
X + X = X..........................................X = Y oldugundan,
2.X = X..............................................'X' leri topladik.
2 = 1 ................................................'X' ler sadelesti.
3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.
5 = 4..................................................buradan,
5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2' seklinde yazdik. HATA NEREDE?
Cantor Paradoksu:
George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayisi, asil kümeden daha fazladir. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir?
"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanidir. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani:
2ª Ì X (2 üzeri a, alt küme X) dir. Buradan sunu yazabiliriz:
card(2ª) card(a)................1
Çünkü alt kümelerin kardinali asil kümelerden küçüktür veya esittir. Ancak Cantor Teoremine göre:
card(2ª) > card(a)...................2
olmalidir. 1 ve 2 çelismektedir.
Karışım Paradoksu:
Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kasik sütten aliyoruz ve kahve fincanina döküyoruz. iyice karistirip oradan da bir kasik aliyoruz ve süte döküyoruz. simdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladir?
Cevap sasirtici gelebilir ama karisim oranlari esittir. iste ispati:
Kabul edelim ki karisimimiz homojen olmasin. Meselâ kahveye kattigimiz süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldigimiz miktar tabi ki sütten aldigimiza esit olacaktir. Veya:
ilk karisimdan sonra kasigimizin yarisi süt, yarisi da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarim kasik kahve, kahvede yarim kasik süt bulunacaktir. Veya:
ilk karisim homojen olsun. Aldigimiz bir kasik karisimin % 90 ini kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 i kahvede kalmistir. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracagindan karisim oranlari esit olur.
Bütün Sayilar Esittir Paradoksu:
a ve b birbirinden farkli herhangi iki tamsayi ve c de bunlarin farki olsun:
a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafi (a-b) ile çarptik.
a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtik.
a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attik.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sag tarafa attik.
a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sag tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldik.
a=b....................................................(a-b-c) ler sadelesti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri)
Karışık Bir Hesap:
iki çocuk ayri ayri kalem satmaktadirlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardir. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; digeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. ilki 30 kalemden 100 TL, digeri de 150 TL kazanir. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çikarlar. Yolda karsilastiklarinda biri digerine der ki:
-"Gel seninle ortak olalim. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalim. Kazandigimiz parayi da paylasiriz. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanirlar. Yani:
5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar, ayri ayri satis yaptiklarinda toplam 250 TL kazaniyorlardi. Beraber sattiklarinda neden 10 TL zarar ettiler?
1 kg = 1 ton ¿?
1 kg = 1000 gr.............(1)
2 kg = 2000 gr.............(2)
(1) ve (2) çarpilirsa:
2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayisi ile,
1 kg = 1 ton
Hempel Paradoksu:
Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtir!"
Bu önermeyi iki sekilde ispatlayabiliriz:
a) Çok sayida kuzgun görüp, hepsinin de siyah oldugunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan seylerin, ayni zamanda kuzgun da olmadigini görerek.
Bilinen su ki çok sayida siyah kuzgun ve yine çok sayida siyah olmayan, ayni zamanda kuzgun da olmayan cisim vardir. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayiz. Kirmizi cisimler için bu uygulama yapilmamissa "bazi kuzgunlar kirmizi " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarim" in itibarini sarsmistir.
Arnauld Paradoksu:
Herkes bilir ki;
(Büyük Sayi / Küçük Sayi) ¹ (Küçük Sayi / Büyük Sayi) dir.
(5 / 2) ¹ (2 / 5) gibi
Ancak negatif sayilar bu kurali bozar:
(3 / -3) = (-3 / 3)
Ayrica;
(Büyük Sayi / Küçük Sayi) > 1 dir.
(4 / 3) > 1 gibi
Yine negatif sayilar için kural ihlâl edilir:
(3 / -1) < 1
Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantiksiz geldigi için negatif sayilarin olmadigina hükmetti.
Berber Paradoksu:
Klasik paradokslardan biri daha:
Bir berber, bulundugu köydeki erkeklerden, yalnizca kendi kendini tras edemeyen erkekleri tras ediyor. Berberi kim tras edecek?
Kendi kendine tras olsa; kendisini tras edebildigi için tanima ters düsecek. Baskasi tras etse; o kisi kendi kendine de tras olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)
Russel Paradoksu:
1970 yilinda 98 yasinda ölen Bertrand RUSSEL'in çok bilinen paradoksu:
"Bir odada papa ve ben varim. Odada kaç kisiyiz?" Cevap:
"Bir kisiyiz. Çünkü ben, ayni zamanda papayim"
Russel'in "Kümeler" Paradoksu:
Russel'a göre iki çesit küme var:
a) Kendisinin elemani olan(ihtiva eden) kümeler.
b) Kendisinin elemani olmayan kümeler.
simdi, "Kendisinin elemani olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemani midir?
28 Eylül 2009 Pazartesi
matematik paradoksları
Kainatın üzerine bina edildiği 6 sayı
İngiliz astronom Martin Rees, kâinatın yaratılışında anahtar durumunda olan temel 6 sayı bulunduğunu, bu sayıların değerlerinin değişik olması ve farklı tercih edilmesi durumunda kâinatın oluşmayacağını öne sürmüştür........
Altı sayıdan ikisi kâinattaki temel kuvvetlerle ilgili, ikisi kâinatın büyüklüğü ve makro yapısı ile ilgili, diğer ikisi ise kâinatın özelliklerini belirleyicidir. Bu sayıları ayrı ayrı ele alalım: ......
Bilimin ilerlemesi ile, kâinatın üzerine kurulduğu hassas dengeler daha belirgin şekilde ortaya çıkmaktadır. Kâinatın inşasında tesadüflerin yeri olmadığı artık açıkça anlaşılmıştır. İngiliz astronom Martin Rees, kâinatın yaratılışında anahtar durumunda olan temel 6 sayı bulunduğunu, bu sayıların değerlerinin değişik olması ve farklı tercih edilmesi durumunda kâinatın oluşmayacağını öne sürmüştür.Kendi ifadesi ile şöyle demektedir: “Bu altı rakam kâinat için bir reçete oluşturuyor. Eğer bu rakamlardan herhan gi birisi çok küçük miktarda da değişik olsa, yıldızlar, karmaşık elementler ve hayat olmayacaktı.”
Bu altı rakam kâinatın en büyük ve en küçük parçalarına nüfuz etmiştir. Küçük parçalardan bir örnek seçelim: Helyum atomunun çekirdeği kendisini oluşturan 2 proton ve 2 nötronun ağırlığının yüzde 99,3′ünü oluşturur. Kalan yüzde 0,7’si ısı olarak açığa çıkar. Böylece güneşin yakıtı hidrojen gazı, helyuma dönüştüğünde kütlesinin 0,007’si enerjiye dönüşür. Eğer bu rakam biraz küçük olsaydı, meselâ 0,007 yerine 0,006 olsaydı, proton nötrona bağlanamayacak ve kâinat sadece hidrojen ihtiva edecekti. Kimyevî reaksiyonlar olmayacak ve neticesinde hayat ortaya çıkamayacaktı. Eğer bu rakam biraz daha büyük olsaydı, meselâ 0,008, füzyon o kadar hızlı olacaktı ki, Big Bang’dan günümüze hidrojen kalmayacaktı. Bu durumda güneş sistemi ve hayattan bahsetmek imkânsız hâle gelecekti. Yani bu rakam 0,006 ile 0,008 arasında çok hassas bir dengede durmaktadır.
Benzer şekilde kâinatın yaratılışında temel teşkil eden diğer 5 rakamın da şansa bırakılması durumunda, kâinatın ortaya çıkması imkânsız hâle gelecektir. Bu imkânsızlığı, Astronom Hugh Ross, “bir hortumun araba mezarlığının üzerinden geçmesi ile Boeing 747 uçağının ortaya çıkması” hâdisesine benzeterek ifade etmektedir.
Altı sayıdan ikisi kâinattaki temel kuvvetlerle ilgili, ikisi kâinatın büyüklüğü ve makro yapısı ile ilgili, diğer ikisi ise kâinatın özelliklerini belirleyicidir. Bu sayıları ayrı ayrı ele alalım:
1) e veya 0,007 sayısı. Bu sayı atom çekirdeğini bir arada tutan kuvvetin şiddetini ve dünyadaki bütün atomların nasıl yapıldığını belirler.
2) N veya 1.000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. Bu sayı atomları bir arada tutan kuvvetin şiddetinin atomlar arasındaki gravitasyonel çekim kuvvetine oranını temsil eder. Sayıdan da anlaşılabileceği gibi atomlar arasındaki çekim kuvveti, atomlar arasındaki gravite kuvvetine göre çok büyüktür. Eğer rakam daha küçük olsaydı, kısa süreli, minyatür bir kâinat oluşabilirdi.
3) W sayısı. Bu sayı kâinattaki görünen ve görünmeyen bütün madde yoğunluğunu temsil etmektedir. Bu rakam genişleyen bir kâinatta gravitenin nispi önemini ortaya koyar. Eğer madde yoğunluğu fazla olsa ve dolayısı ile gravite kuvveti daha büyük olsaydı, hayatın oluşmasına fırsat olmadan kâinat kendi içine çökecekti. Eğer rakam daha küçük olsaydı, galaksi ve yıldızlar yaratılamayacaktı. Belki de kâinat farklı bir sürette yaratılacaktı.
4) l sayısı. Bu sayı 1998′de yeni keşfedildi. Kâinatın genişlemesini kontrol eden bir nevi kozmik antigravite kuvvetinin şiddetidir. Bu rakam çok küçük olduğu için 1 milyar ışık yılı genişliğinden daha küçük yapıları etkilemez. Eğer bu kuvvet şimdikinden daha büyük olsaydı, yıldız ve gezegenlerin oluşmasına mani olacak ve hayat olmayacaktı.
5) Q sayısı. Genişleyen kâinatta gezegen ve galaksilerin oluşumuna yol açan karmaşık düzensizlik veya dalgalanmaların genliğini temsil eder. 1/1.000 oranı ile ifade edilir. Eğer oran biraz daha küçük olsa idi, kâinat hayat olmayan soğuk bir gazdan ibaret olacaktı. Eğer oran daha büyük olsaydı, büyük madde kümeleri dev kara delikler haline dönüşecekti. Böyle bir kâinatta, yıldız ve güneş sistemleri hayatiyetlerini devam ettiremeyeceklerdi.
6) D sayısı. Kâinattaki uzay boyutlarını belirler ki, rakam olarak 3′tür. Eğer boyut 2 veya 4 olsaydı hayat olmayacaktı.
Bu 6 rakam bugünkü bilgimizle birbirinden bağımsız gözükmektedir. Yani bazı rakamlardan hareketle, diğer rakamları teorik olarak elde etmek şimdilik mümkün görülmüyor.
Hayat gibi son derece karmaşık ve plânlı bir hâdiseyi tesadüflerle izah etmeye çalışan ideolojik evrim, bundan önce kâinatın nasıl tesadüflerle ortaya çıktığı sorusunu izah etmek zorundadır. Kâinat ve hayat ile ilgili elde ettiğimiz her yeni bilgi, bizi müthiş bir plânlama ve tasarımla karşı karşıya olduğumuz sonucuna götürüyor. Böylece kâinat ve hayatın daha mânâlı olduğunu anlıyoruz.
Ancak hiçbir zaman bu rakamların bir Yaratıcının tercihi olduğu hatırdan çıkarılmamalı ve rakamlara da ayrıca bir ilahlık verme gibi yanlışlığa düşülmemelidir.
:Prof.Dr. M.Sami POLATÖZ
Brad Lemley,’Why is there life’, Discover, November 2000, 64-69.
Hayatımızda 1 ve 0'ın Önemi
1982 yılı Yıldız Teknik Üniversitesi Makine Fakültesi 2.sınıf öğrencileri yüksek matematik dersinin hocasını bekliyor.
Sınıf, öğrencilerin gürültü patırtısıyla sallanırken, sert görünümlü hoca kapıda beliriyor, içeriye kızgın bir bakış atıp kürsüye geçiyor.
Tebeşirle tahtaya kocaman bir (1) rakamı çiziyor. Bakın diyor. Bu, kişiliktir. Hayatta sahip olabileceğiniz en değerli şey.
Sonra (1) in yanına bir (0) koyuyor: Bu, başarıdır.Başarılı bir kişilik (1) i (10) yapar. Bir (0) dahaBu,tecrübedir. (10) iken (100) olursunuz. Sıfırlar böyle uzayıp gidiyor: Yetenek... disiplin... sevgi... Eklenen her yeni (0) ın kişiliği 10 kat zenginleştirdiğini anlatıyor hoca...
Sonra eline silgiyi alıp en baştaki (1) i siliyor. Geriye bir sürü sıfır kalıyor.
Ve hoca yorumunu patlatıyor: Kişiliğiniz yoksa, öbürleri hiçtir.
Sınıf, mesajı alıp sessizliğe gömülüyor.
Matematik Niçin Doğmuştur?
Tüm ilkel toplumlarda ticaret takastan öte bir nitelik kazanır kazanmaz sayı ve ölçü kavramları gelişti. Sayı kavramı matematiğin temelini oluşturur. Sayılar çiftçilerin ürünlerini sayma gereksinmesinden doğmuştur. Sayılar alışverişi de olanaklı kılan para sistemlerinin ortaya çıkmasına yol açmıştır. Daha sonra yunanlılar matematiksel usa vurmayı mantıksal bir temele oturtarak ve böylece kendilerini kanıtlayıcı olmayan önermelerin, temel varsayımlardan çıkarılabilmesini sağlayarak matematiği kesin bir bilim dalı haline getirdiler. Ayrıca müzik ve resimle ilişkiler kurarak mantıksal düşünüşlerini sanatları da içerecek biçimde genişlettiler. Fakat matematik 16. yüzyıla dek pek fazla gelişmedi. Günümüzde tüm dünya eşi görülmemiş bir değişim yaşamaktadır(1); fakat hala Avustralya daki Aranda kabilesinin üyeleri gibi daha pek çok yerlerdeki yerliler 3 e kadar bile tam anlamıyla sayamıyorlar. Bu insanların dillerinde sadece 1 ve 2 yi anlatan sözcükler var. 3 için biriki, 4 için ikiiki. 4 ten sonraki tüm sayılar ise çok .Aslında çok büyük sayıları anlatmanın çok çeşitli yolları var. Sözgelimi birin peşine kaç tane 0 koyduğumuzu söyleyebiliriz.
Sümerler bir elin parmakları olan 10 sayısını ve onluk sayma sistemini kullanmışlardır. 12 aralığını bularak zamanı saatle, 60 sayısından yararlanarak zamanı ölçen saati, dakikayı, saniyeyi bulmuşlardır. Hiçbir şey birden ortaya çıkmamıştır. Ama matematik bir gereksinmedir. Yaşamın bir parçasıdır. Yaşamın her evresi matematiktir. Doğru düşünme kurallarını öğretir. Düşünce ile somut kavramlar arasında bağıntı kurar. Sosyal ve bilimsel gelişme sürecini çabuklaştırır. İnsan zekasını geliştirir. Bunun en yakın örneği; 10 yaşındaki bir öğrencinin bir üniversitenin matematik bursunu kazanmasıdır. Aslında her çocuk doğduğunda bir harikadır. Onu işlemek yaşamın en ileri seviyesine götürmek eğitmek güç iştir.